ZZn4 sqrt(const ZZn4& x)
{
// sqrt(a+xb) = sqrt((a+sqrt(a*a-n*b*b))/2)+x.b/(2*sqrt((a+sqrt(a*a-n*b*b))/2))
// sqrt(a) = x.sqrt(a/n)
// where x*x=n
ZZn4 w;
ZZn2 a,s,t;
if (x.iszero()) return w;
x.get(a,s);
if (s.iszero())
{
if (qr(a))
{
s=sqrt(a);
w.set(s,0);
}
else
{
s=sqrt(txd(a));
w.set(0,s);
}
return w;
}
s*=s;
a*=a; a-=txx(s);
s=sqrt(a);
if (s.iszero()) return w;
x.get(t);
if (qr((ZZn2)((t+s)/2)))
{
a=sqrt((t+s)/2);
}
else
{
a=sqrt((t-s)/2);
if (a.iszero()) return w;
}
x.geth(t);
w.set(a,t/(2*a));
return w;
}
ZZn2 imaginary(const ZZn4 &x)
{
ZZn2 i;
x.geth(i);
return i;
}