int
f_elliptic_p_laurent_n(acb_ptr res, const acb_t z, void * param, slong order, slong prec)
{
slong n;
acb_t tau;
if (order > 1)
flint_abort(); /* Would be needed for Taylor method. */
n = ((slong *)(param))[0];
acb_init(tau);
acb_onei(tau);
acb_modular_elliptic_p(res, z, tau, prec);
acb_pow_si(tau, z, -n - 1, prec);
acb_mul(res, res, tau, prec);
acb_clear(tau);
return 0;
}
void
_acb_hypgeom_legendre_q_single(acb_t res, const acb_t n, const acb_t m,
const acb_t z, slong prec)
{
acb_t a, b, c, z2, t, u;
acb_init(a);
acb_init(b);
acb_init(c);
acb_init(z2);
acb_init(t);
acb_init(u);
/* invalid in (-1,0) */
if (!_acb_hypgeom_legendre_q_single_valid(z))
{
acb_indeterminate(res);
return;
}
acb_pow_si(z2, z, -2, prec); /* z2 = 1/z^2 */
/* t = 2F1r((m+n+1)/2, (m+n)/2+1, n+3/2, 1/z^2) */
acb_add(b, m, n, prec);
acb_add_ui(a, b, 1, prec);
acb_mul_2exp_si(a, a, -1);
acb_mul_2exp_si(b, b, -1);
acb_add_ui(b, b, 1, prec);
acb_set_ui(c, 3);
acb_mul_2exp_si(c, c, -1);
acb_add(c, c, n, prec);
acb_hypgeom_2f1(t, a, b, c, z2, 1, prec);
/* prefactor sqrt(pi) 2^-n (z+1)^(m/2) (z-1)^(m/2) exp(i pi m) */
/* (1/2) gamma(m+n+1) z^(-m-n-1) */
if (!acb_is_zero(m))
{
acb_add_ui(z2, z, 1, prec);
acb_mul_2exp_si(c, m, -1);
acb_pow(z2, z2, c, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
acb_sub_ui(z2, z, 1, prec);
acb_mul_2exp_si(c, m, -1);
acb_pow(z2, z2, c, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
acb_exp_pi_i(z2, m, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
}
acb_set_ui(z2, 2);
acb_neg(c, n);
acb_pow(z2, z2, c, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
acb_add(c, m, n, prec);
acb_add_ui(c, c, 1, prec);
acb_gamma(z2, c, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
acb_neg(c, c);
acb_pow(z2, z, c, prec);
acb_mul(t, t, z2, prec);
acb_mul_2exp_si(t, t, -1);
arb_const_sqrt_pi(acb_realref(u), prec);
acb_mul_arb(t, t, acb_realref(u), prec);
acb_set(res, t);
acb_clear(a);
acb_clear(b);
acb_clear(c);
acb_clear(z2);
acb_clear(t);
acb_clear(u);
}
