Int32 Cubic( Real x3, Real x2, Real x, Real k, Real roots[3] )
{
if( IsZero( x3 ) )
return Quadratic( x2, x, k, roots );
Real a, b, c, d, a2, p, q, p3, s;
// Normalize
a = x2 / x3;
b = x / x3;
c = k / x3;
// Reduction to a depressed cubic
a2 = a * a;
p = 1.0f / 3.0f * ( -1.0f / 3.0f * a2 + b );
q = 1.0f / 2.0f * ( 2.0f / 27.0f * a * a2 - 1.0f / 3.0f * a * b + c );
s = 1.0f / 3.0f * a;
// Cardano's method
p3 = p * p * p;
d = q * q + p3;
if( IsZero( d ) )
{
if( IsZero( q ) )
{
roots[0] = -s;
return 1;
}
else
{
Real u = CubeRoot( -q );
roots[0] = 2.0f * u - s;
roots[1] = -u - s;
return 2;
}
}
if( d < 0.0f )
{
Real phi = 1.0f / 3.0f * ACOS( -q / SQRT( -p3 ) );
Real t = 2.0f * SQRT( -p );
roots[0] = t * COS( phi ) - s;
roots[1] = -t * COS( phi + PI / 3.0f ) - s;
roots[2] = -t * COS( phi - PI / 3.0f ) - s;
return 3;
}
Real u = CubeRoot( SQRT( d ) + ABS( q ) );
roots[0] = ( q > 0.0f ? - u + p / u : u - p / u ) - s;
return 1;
}
static
double f(double t)
{
if (t <= 0.008856)
return 7.787037037037037037037037037037*t + (16./116.);
else
return CubeRoot((float) t); // more precisse than return pow(t, 1.0/3.0);
}
static
double f(double t)
{
const double Limit = (24.0/116.0) * (24.0/116.0) * (24.0/116.0);
if (t <= Limit)
return (841.0/108.0) * t + (16.0/116.0);
else
return CubeRoot((float) t);
}
int RootSolver::SolveCubic(float c[4], float s[3])
{
int i, num;
float sub;
float A, B, C;
float sq_A, p, q;
float cb_p, D;
// normal form: x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0
A = c[2] / c[3];
B = c[1] / c[3];
C = c[0] / c[3];
// substitute x = y - A/3 to eliminate quadric term: x^3 +px + q = 0
sq_A = A * A;
p = 0.33333333333333333333333333333333f * (-0.33333333333333333333333333333333f * sq_A + B);
q = 0.5 * (0.074074074074074074074074074074074f * A * sq_A - 0.33333333333333333333333333333333f * A * B + C);
// use Cardano's formula
cb_p = p * p * p;
D = q * q + cb_p;
if (MCore::InRange<float>(D, -0.000001f, +0.000001f))
{
// one triple solution
if (MCore::InRange<float>(q, -0.000001f, +0.000001f))
{
s[0] = 0;
num = 1;
}
else // one single and one float solution
{
float u = CubeRoot(-q);
s[0] = 2 * u;
s[1] = -u;
num = 2;
}
}
else if (D < 0) // Casus irreducibilis: three real solutions
{
float phi = 0.33333333333333333333333333333333f * Math::ACos(-q / Math::Sqrt(-cb_p));
float t = 2 * Math::Sqrt(-p);
s[0] = t * Math::Cos(phi);
s[1] = -t * Math::Cos(phi + Math::PI * 0.33333333333333333333333333333333f);
s[2] = -t * Math::Cos(phi - Math::PI * 0.33333333333333333333333333333333f);
num = 3;
}
else // one real solution
{
float sqrt_D = Math::Sqrt(D);
float u = CubeRoot(sqrt_D - q);
float v = -CubeRoot(sqrt_D + q);
s[0] = u + v;
num = 1;
}
// resubstitute
sub = 0.33333333333333333333333333333333f * A;
for (i=0; i<num; ++i)
s[i] -= sub;
return num;
}
